Теория симметрии кристаллов

VII.2.11. Вывод пространственных групп гексагональной сингонии

Рис. 117

Классный метод вывода пространственных групп гексагональной сингонии, предложенный Н.В.Беловым [5, 18] (см. с. 217), предполагает рассмотрение возможности задания на различных позициях гексагонального символа плоскостей или осей симметрии в качестве порождающих элементов симметрии. Однако такой вывод не показывает связи гексагональных групп с группами других, выше выведенных сингоний, т.е. неоправданно обособляет их. С этой точки зрения интересно проследить взаимосвязь групп гексагональной сингонии с одной главной осью 3-го порядка, самостоятельной или являющейся составной частью оси более высокого порядка - 6, с кубическими пространственными группами, содержащими несколько осей 3-го порядка [26]. Такую связь нетрудно увидеть уже на уровне элементарных ячеек, сориентировав куб вдоль одной из осей 3-го порядка. Очевидно, что незначительная деформация гексаэдра - частного случая ромбоэдра с углами = = = 90^o - вдоль этой оси ликвидирует все наклонные к оси 3 элементы симметрии, не свойственные ромбоэдру. Сам же ромбоэдр в этом случае, хотя его и можно рассматривать в качестве примитивного параллелепипеда (a = b = c, = = 90^o ), не будет ячейкой Браве, ибо его ребра не связаны с особыми направлениями. Это делает необходимым выбор новой гексагональной элементарной ячейки.

Трансформацию симметрии кубической ячейки в гексагональную легко проиллюстрировать на уровне точечных групп симметрии (рис. 117, б, в), в результате которой каждая из пяти групп кубической сингонии переходит в соответствующую ей тригональную группу. При этом в тригональных группах останется лишь половина диагональных, перпендикулярных оси 3-го порядка особых направлений кубических групп.

Остальные - собственно гексагональные - точечные группы легко вывести, воспользовавшись удачно предложенным Н.В.Беловым механизмом [5, 18]: добавлением к оси 3 (главному особому направлению тригональных групп) совпадающей с ней оси 2-го порядка - простой (2) или инверсионной ( = m):

Рис.118

Сначала следует рассмотреть вопрос о направлении координатных трансляционных векторов стандартных дважды центрированных R-ячеек Браве, выбранных в кубических решетках каждого типа (Р, I или F).

В качестве координатных векторов и новой гексагональ-ной ячейки выбираются бывшие диагонали граней исходного Р-куба, став-шие в новой ячейке горизонтальными трансляциями с углом между ними, равным 120^o (рис. 118, а). Расположение же всех узлов кубической Р-ячейки, ориентированной вдоль одной из осей 3-го порядка, на трех уровнях (0, 1/3, 2/3) относительно телесной диагонали куба - ее нового гексагонального параметра - указывает на дважды объемноцентрированный тип (R) решетки Браве (рис. 118, а). В векторном выражении

Если исходной является кубическая объемноцентрированная ячейка, то дополнительный вектор , ставший в гексагональной установке вертикальным, сокращает вдвое параметр по сравнению с таковым производной от кубической Р-ячейки (рис. 118, б). Горизонтальные же параметры и по абсолютной величине остаются прежними. Однако для сохранения единообразия центрировки гексагональной ячейки можно выбрать следующие координатные направления :

В F-решетке из множества дополнительных трансляций, центрирующих грани куба, можно выбрать две горизонтальные, расположенные под углом 120^o одна к другой, каждая из которых равна половине диагонали грани кубической ячейки. При этом вертикальный параметр ячейки остается равным телесной диагонали исходного куба (ромбоэдра) (рис. 118, в). Для такой новой R-ячейки Браве

В итоге убеждаемся, что каждому типу кубических решеток Браве соответствует определенная гексагональная дважды центрированная ячейка с определенной ориентацией и размерами координатных векторов , , . Далее, зная взаимосвязь кубических ячеек разного типа (Р, I, F) с соответствующими им гексагональными R-ячейками, можно вывести пространственные группы гексагональной сингонии на основе кубических пространственных групп.

Вывод пространственных групп тригональной подсингонии с R-решеткой на основе кубических пространственных групп

Прежде чем приступить к выводу гексагональных пространственных групп симметрии, полезно вспомнить прослеженную ранее связь (см. с. 162) кубических групп с группами ромбической и тетрагональной сингоний, которую легко представить на уровне точечных групп (см. рис. 117). Кубизация двух ромбических групп (222 и mmm) и трех тетрагональных () путем введения равнонаклонной к координатным направлениям оси 3_[111] приводит к пяти точечным группам кубической сингонии (см. рис. 117, а, б), последующая гексагонализация которых вышеуказанным способом приведет также к пяти точечным группам тригональной подсингонии (см. рис. 117, в). Подмеченную связь попытаемся проследить и на уровне пространственных групп.

Для кубизации годятся лишь те пространственные группы, в которых на всех трех позициях символа расположены одинаковые (однотипные) элементы симметрии, ибо только в этом случае введение кубизирующей оси 3-го порядка сделает их эквивалентными. Из всех пяти подлежащих кубизации групп кубической осевой гемиэдрии, выведенных на основе пространственных групп, подчиненных точечным 222 и mmm (см. с. 107, 119), получим единственную пространственную группу с ромбоэдрической решеткой - R3, в которую перейдет лишь одна ось 3-го порядка каждой из них, координатные же оси 2 и 2₁ окажутся несовместимы с R-решеткой:

Пр. группы ромбической осевой гемиэдрии	Пр. группы  кубической осевой   тетартоэдрии

Каждая из семи групп кубической гемиэдрии трансформируется при гексагонализации в одну и ту же ромбоэдрическую - :

Пр. группы ромбической голоэдрии	Пр. группы  кубической голоэдрии

Гексагонализация пространственных групп кубической осевой гемиэдрии, выведенных на основе тетрагональных групп класса 422, приведет также к одной ромбоэдрической группе: R32. При этом для получения кубических пространственных групп с F-решеткой следует соответствующие I-группы представить в F-аспекте:

Пр. группы тетрагональ- ной   осевой гемиэдрии	Пр. группы кубической  осевой   гемиэдрии

В списке кубических пространственных групп, подчиненных точечной , можно выделить те из них, на 3-й позиции символов которых располагаются зеркальные плоскости симметрии. Гексагонализация этих групп даст одну группу - R3m ¹ :

Пр. группы тетрагональной гемиэдрии	Пр. группы  кубической   гемиэдрии

Рис. 119

Гексагонализация перечисленных выше кубических групп не вызывает затруднений, так как зеркальные плоскости при таком переходе не меняют свое наименование. Во втором семействе кубических групп: и - на третьей позиции их символов оказываются плоскости, меняющие в новой ориентировке свои обозначения. В группах и косые векторы скольжения диагональных клиноплоскостей n и d кубической ячейки в ячейке ромбоэдрической оказываются вертикальными, т.е. параллельными . При этом в гексагональных группах, производных от Р- и F-кубических ячеек (рис. 119, а, б), клиноплоскость n просто меняет свое наименование на с, т.е. превращается в . При переходе к гексагональной ячейке от I-кубической трансляционный вектор клиноплоскости d, равный 1/4 телесной диагонали исходного куба (рис. 119, в), в новой ромбоэдрической ячейке с вдвое сокращенным параметром по сравнению с аналогичными параметрами производных от Р- и F-кубических ячеек также превращается в трансляционную компоненту плоскости с (), т.е. и в этом случае клиноплоскость d превращается в плоскость с.

Рис. 120

Особого внимания заслуживает трансформация кубических пространственных F-групп с плоскостями с на третьей позиции символа - гемиэдрической и голоэдрических и . Указанные пространственные группы получены в качестве надгрупп тетрагональных: , и соответственно, представленных в пригодном для кубизации F-аспекте: , и (см. с. 166), в котором координатная трансляция () I-решетки, становясь дополнительным центрирующим грань ячейки вектором, совпадает с теперь уже диагональной плоскостью с (рис. 120). Взаимодействие плоскости с_d с лежащим в ней вектором (c_d ^. = m_d ^{. .} ) превратит ее в клиноплоскость n, т.е. будет наблюдаться тождественность плоскостей с и n (c n). В развернутом виде группа запишется n. Клиноплоскость n, как было показано выше, в ромбоэдрической установке "работает" как плоскость с. Таким образом, гексагонализация трех из перечисленных выше кубических пространственных групп приведет к одной ромбоэдрической - R3c:

Указанную особенность диагональных плоскостей с (с n) следует учитывать и при гексагонализации голоэдрических групп кубической сингонии, каждая из которых имеет своей подгруппой соответствующую тетрагональную группу:

В символах пространственных групп R3c и сохраняется обозначение плоскости скользящего отражения с. Исходная же плоскость c кубической группы преобразуется в своеобразную клиноплоскость r [29, 30] с необычными для клиноплоскости трансляционными компонентами (см. с. 226 - 229).

В итоге, воспользовавшись приемом гексагонализации кубических пространственных групп получили все ромбоэдрические группы гексагональной сингонии (табл. 3).

Вывод пространственных групп тригональной подсингонии с Р-решеткой

Приведенная выше табл. 3 помимо перехода от кубических групп к ромбоэдрическим демонстрирует и переход от семи групп с ромбоэдрической решеткой к остальным пространственным группам тригональной подсингонии с Р-решеткой Браве, который легко осуществляется снятием R-трансляций. При этом следует помнить, что в R-решетке все три сорта осей 3-го порядка (3, 3₁ и 3₂) взаимосвязаны, ибо взаимодействие одной из них (например, оси 3, расположенной в начале координат) с двумя дополнительными трансляционными векторами R-ячейки

и

приведет к появлению порожденных осей 3-го порядка иного характера - 3₁ и 3₂ - в позициях и соответственно (см. рис. 99). При переходе к Р-ячейке эти оси становятся независимыми, что увеличивает количество соответствующих Р-групп. Кроме того, особые направления 2, = m и 2₁ , запрещенные в R-ячейке на третьей - апофемальной - позиции символа, примитивной ячейке не противоречат. Это удваивает количество соответствующих Р-групп. Центросимметричные Р-группы не могут содержать винтовые оси 3₁ и 3₂, ибо взаимодействие их с центром инверсии привело бы к абсурдному расположению узлов элементарной ячейки. В итоге получим 18 пространственных групп тригональной подсингонии с примитивной решеткой Браве (см. таблицу 3).

Вывод собственно гексагональных пространственных групп

Переход от групп тригональной подсингонии (с главной осью 3-го порядка) к пространственным группам собственно гексагональной сингонии (с главной осью 6-го порядка) может быть осуществлен путем совмещения оси 3 - главного особого направления - с осями 2, или 2₁ , что повысит ее порядок до шести. Такой переход уже был продемонстрирован на примере точечных групп симметрии (см. с. 207). В результате из пяти тригональных точечных групп были получены 7 собственно гексагональных.

Однако вывод собственно гексагональных пространственных групп на основе ромбоэдрических указанным способом невозможен, ибо возникающие в этом случае оси 6-го порядка несовместимы с R-решеткой. Таким образом, гексагонализации подлежат лишь 18 пространственных групп тригональной подсингонии с Р-решеткой (таблица 4). При выводе следует учесть целесообразность добавления различных осей 2-го порядка (2, или 2₁) к тем или иным примитивным группам тригональной подсингонии [18].

Действительно, если оси 2 и 2₁ могут взаимодействовать со всеми осями 3-го порядка (3, 3₁ , 3₂) , то ось = m_z можно добавлять к группам, содержащим лишь поворотные оси 3, в результате чего возникнет ось . Следует также иметь в виду, что в центросимметричных группах оси 2 и неизбежно сопровождают одна другую, так как введение одной из них приводит к автоматическому появлению другой.

Из таблицы 4 видно, что исходные пространственные группы тригональной подсингонии, содержащие боковые (горизонтальные) особые направления на разных позициях символа, объединяются в пары, ибо повышение порядка главной оси до шести делает особые направления обеих (2-й и 3-й) позиций взаимосвязанными.

Предложенный вывод пространственных групп гексагональной сингонии на основе кубических демонстрирует их тесную связь, продолжая намеченную ранее цепочку вывода: от ромбических --> через тетрагональные --> к кубическим и далее к гексагональным, ликвидируя таким образом обособленность последних, особенно остро ощущаемую при "классном" их выводе, когда простой перебор порождающих элементов симметрии на соответствующих позициях символа оказывается хотя и полезным, но недостаточно продуктивным при выявлении симметрийной связи пространственных групп разных сингоний.

См. также Завершилась III Всероссийская научная школа "Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии" Изучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Изучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Глава 1. Литературный обзор. Теория упругости в применении к минеральным фазам Земли. ПРЕДПОЛАГАЕМЫЙ МЕХАНИЗМ РОСТА ХАЛЦЕДОНА. Peter J. Heaney.