Теория симметрии кристаллов

IX.6.3. Вывод шубниковских групп симметрии класса D₂

Шубниковские группы симметрии, подчиненные группе 222, можно вывести, воспользовавшись рассмотренным выше путем, предложенным Н.В.Беловым [6, 11]: комбинацией всех ромбических решеток Браве (простых и цветных) со всеми возможными сочетаниями цветных и нецветных элементов симметрии.

Девять классических (федоровских) пространственных групп симметрии - P222, P2₁ 2₁ 2₁ ,P222₁ ,P2₁2₁2, C222, C222₁ , I222, I2₁2₁2₁ , F222 - обслуживаются семью различными цветными решетками: P'_s(=P'_a , P'_b , P'_c), P'_A(=P'_B , P'_C), P'_I , C'_c,I , C'_A,B , I'_c,C , F'_s . Не перечисляя тривиально получающиеся 9 серых групп и 13 групп антисимметрии с классическими нецветными решетками, обратимся к выводу групп антисимметрии с перечисленными выше цветными решетками. Из четырех примитивных групп этого класса только в двух их них - P222 и P2₁2₁2₁ - все координатные направления топологически идентичны и ввод цветной трансляции вдоль любого ребра ячейки или в центр одной пары граней для каждой из них приведет к одной соответствующей группе антисимметрии. Цветной вектор, центрирующий объем, обслужит все 4 классические группы (табл. 9). Для групп P222₁ и P2₁2₁2 центрировка ребер или одной пары граней возможна двумя различными способами. Поскольку два горизонтальных направления равноправны, но отличаются от третьего, для каждой классической группы получим по две цветных с соответствующей цветной решеткой:

P222₁ --> P'_a222₁ и P'_c 222₁ (= P'_a2₁22),

P'_A222₁ (= P'_C2₁22) и P'_C222₁ ,

P2₁2₁2 --> P'_a2₁2₁2 и P'_c2₁2₁2 (= P'_a22₁2₁),

P'_A2₁2₁2 (= P'_C22₁2₁) и P'_C2₁2₁2.

То же самое произойдет и для каждой из двух возможных базоцентрированных групп C222 и C222₁ , где цветная трансляция вдоль ребер ячейки занимает два принципиально различных положения относительно вектора :

C222 --> C'_c,I 222 и C'_a,b222,

C222₁ --> C'_c,I 222₁ и C'_a,I 222₁.

Цветная центрировка грани A влечет за собой за счет вектора и центрировку грани B, что даст еще две группы антисимметрии: C'_A,B222 и

C'_A,B 222₁. Два еще не рассмотренных типа решеток - I'_c,C и F'_s - реализуются в трех группах антисимметрии: I'_c,C 222, I'_c,C 2₁2₁2 и F'_s 222.

В итоге получим 56 шубниковских групп класса D₂, включающих: 9 полярных федоровских, 9 нейтральных (серых), 25 групп с цветной решеткой, 13 - с простой решеткой, но с цветными подрешеточными элементами симметрии.

Прием вывода групп антисимметрии, подчиненных остальным федоровским группам, не отличается от рассмотренного выше, и, используя сформулированные некоторые общие положения вывода, нетрудно перечислить все (1651) шубниковские группы.

См. также Завершилась III Всероссийская научная школа "Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии" Изучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Изучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Глава 1. Литературный обзор. Теория упругости в применении к минеральным фазам Земли. ПРЕДПОЛАГАЕМЫЙ МЕХАНИЗМ РОСТА ХАЛЦЕДОНА. Peter J. Heaney.