Теория симметрии кристаллов

Глава V. Одномерные группы симметрии - группы симметрии бордюров

Рис. 46

В однородном дискретном кристаллическом пространстве эквивалентные точки расположены бесконечными параллельными рядами. Поэтому изучение симметрии кристаллов логично начать с рассмотрения симметрии бесконечных одномерных регулярных построек - атомных рядов, бордюров и т.п.

Обязательной операцией в бесконечной одномерной регулярной постройке служит перенос - трансляция. Каждая точка узора при этом преобразовании повторяется в эквивалентных позициях бесчисленное количество раз.

Ряд эквивалентных точек - узлов, связанных операцией переноса, называется узловым рядом, который в этом случае играет роль своеобразного трансля-ционного элемента симметрии - одномерной "решетки" (рис. 46). Характеристикой узлово-го ряда служат величина и направление вектора , называемого элементарным переносом или периодом идентичности и связывающего соседние трансляционно идентичные узлы, расположенные на минимальном конечном расстоянии друг от друга (a_min). Перемещение фигур при этом может происходить в прямом и обратном направлении.

Рис. 47

Очевидно, что в одномерной "решетке" не может быть промежуточных (дополнительных) узлов. Такая "решетка" называется примитивной и обозначается буквой "p". Ибо, если бы дополнительный узел нашелся, то расстояние между ним и какой-либо точкой оказалось бы меньше расстояния a, принятого за кратчайшее между идентичными точками.

Решетка, как и всякий трансляционный элемент симметрии, с одной стороны, может создавать бесконечный узор переносом конечной фигуры в каком-либо направлении и, с другой - передавать этому узору симметрию исходной фигуры. Основываясь на симметрийном принципе Кюри, заключающемся в том, что при взаимодействии объекта (конечной фигуры) и окружающей среды (решетки) в бесконечный узор перейдут лишь общие для них элементы симметрии, можно вывести все одномерные группы симметрии. Для этого необходимо установить симметрию одномерной решетки (узлового ряда) и симметрию конечных фигур.

Рис. 48

Симметрия одномерной решетки - узлового ряда - характеризуется предельной группой (группой симметрии неподвижного цилиндра, см. c. 32). Ограничившись созданием плоского одномерного одностороннего узора - бордюра, следует сначала из объектов, описываемых 32 точечными группами симметрии, в качестве размножаемых одномерной решеткой выбрать такие, которые лишены "переворачивающих" элементов симметрии, т.е. 10 односторонних розеток (рис. 47) с симметрией 1, 2, 3, 4, 6, m, mm2, 3m, 4mm, 6mm. Условие одномерности и односторонности бесконеч-ного узора заставляет отобрать из этих групп лишь четыре (1, 2, m, mm2), лишенные осей высшего порядка, перпендикулярных плоскости узора. Таким образом, согласно принципу Кюри с одномерной решеткой могут сочетаться лишь следующие элементы симмет-рии: 1, 2, m_x, m_y или их комбинации, ибо только они присутствуют в качестве элементов симметрии решетки и поэтому могут быть переданы ею всему одномерному плоскому одностороннему узору (бордюру).

Рис. 49

Рис. 50

В качестве примера можно рассмотреть два бордюра, полученные переносом (трансляцией) фигуры, обладающей зеркальной плоскостью m. В группу симметрии первого бордюра (рис. 48, а) плоскость m перешла, так как она совпала с одной из плоскостей симметрии предельной группы , характеризующей симметрию узлового ряда. Группа симметрии 2-го бордюра (рис. 48, б) этой плоскости не содержит, так как плоскость такой ориентации в группе симметрии узлового ряда отсутствует.

?аким образом, легко выводятся симморфные ¹ одномерные односторонние группы симметрии: р111, р112, pm11, p1m1, pmm2. Из рис. 49 хорошо видно, что кроме обозначенных в символе группы и присущих конечным фигурам "подрешеточных" элементов симметрии в результате их взаимодействия с трансляцией решетки (трансляцией как элементом симметрии) возникают результирующие дополнительные элементы симметрии, чередующиеся с исходными либо совпадающие с ними (см. с. 46 - 50).

Рис. 51

Действительно, добавление трансляции , перпендикулярной плоскости m_x, создает при взаимодействии с ней новую чередующуюся с исходной плоскость симметрии m_x' , расположенную на расстоянии . Кроме того, при взаимодействии с m_y возникает совпадающая с m_y плоскость скользящего отражения a_y с трансляционной компонентой . Эти "дополнительные" элементы симметрии, естественно, как и каждый член кристаллографической группы симметрии, имеют право на самостоятельное существование. Замена в симморфных группах макроэлементов симметрии на возможный в одномерном одностороннем узоре трансляционный элемент симметрии, в данном случае a_y, приведет еще к двум группам: p1a1 и pma2 (рис. 49).

Итак, получено 7 одномерных групп симметрии - групп симметрии бордюров, варианты конкретной реализации которых представлены на рис. 50.

Бордюры можно считать частным случаем лент - двухсторонних, бесконечных в одном направлении периодических построек, обладающих "переворачивающими" элементами симметрии, т.е. такими, которые совмещают обе стороны ленты и располагаются в плоскости самой ленты. Это плоскости симметрии, совпадающие с плоскостью ленты, и винтовая ось 2-го порядка, совпадающая с узловым рядом.

Увеличение списка операций симметрии добавляет к перечисленным выше семи группам симметрии бордюров еще 24 группы симметрии лент [55].

Постройки, бесконечные в одном направлении, содержащие кроме трансляции совпадающие с ней поворотные, зеркально-поворотные и винтовые оси симметрии любого порядка, называют стержнями, примером которых служат трубы, винты, цепи и т.п. Естественно, что добавление новых элементов симметрии приведет к большему количеству групп симметрии стержней по сравнению с количеством групп симметрии бордюров и лент (рис. 51).

См. также Завершилась III Всероссийская научная школа "Математические исследования в кристаллографии, минералогии и петрографии" Изучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Изучение упругих свойств минералов при высоких давлении и температуре на примере вюстита и железо-никелевого сплава: Глава 1. Литературный обзор. Теория упругости в применении к минеральным фазам Земли. ПРЕДПОЛАГАЕМЫЙ МЕХАНИЗМ РОСТА ХАЛЦЕДОНА. Peter J. Heaney.